已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時(shí)f（x）＜0，f（1）=-2．
①求f（0）；
②求證：f（x）為奇函數(shù)；
③求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解：①在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），
變形可得f（0）=0
②證明：因?yàn)閤，y∈R時(shí)，f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）
所以f（-x）=f（x）
所以f（x）為奇函數(shù)．
③設(shè)x1、x2∈R，且x1＜x2，f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）
因?yàn)閤＞0時(shí)f（x）＜0，所以f（x2-x1）＜0，即f（x2）-f（x1）＜0，
所以f（x）為減函數(shù)．
所以f（x）在[-3，3]上的最大值為f（-3），最小值為f（3）．
因?yàn)閒（3）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，
所以函數(shù)在[-3，3]上的最大值為6，最小值為-6．
分析：①在f（x+y）=f（x）+f（y）中，用特殊值法，令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），變形可得f（0）的值；
②在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，變形可得f（x）+f（-x）=f（0），由①的結(jié)論，即可得答案；
③設(shè)設(shè)x1、x2∈R，且x1＜x2，結(jié)合②的結(jié)論，有f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）成立，結(jié)合題意，可得f（x）為減函數(shù)，即可得f（x）在[-3，3]上的最大值與最小值分別為f（3）、f（-3），借助f（x+y）=f（x）+f（y）與f（1）的值，可得f（3）、f（-3）的值，即可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，涉及函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，難點(diǎn)在于根據(jù)f（x+y）=f（x）+f（y），運(yùn)用特殊值法，分析得到函數(shù)f（x）的性質(zhì)以及函數(shù)值．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過(guò)函數(shù)圖象上的任一點(diǎn)P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對(duì)任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對(duì)任意x∈[0，+∞）成立，求實(shí)數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值．寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個(gè)值．寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，
1
2
）對(duì)稱；
（Ⅱ）設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實(shí)數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對(duì)任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個(gè)命題中，所有真命題的序號(hào)是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對(duì)x∈R恒成立；
③存在三個(gè)點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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同步練習(xí)冊(cè)答案