Question

9．平面向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$滿足$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）=-4$，且|$\overrightarrow a$|=2，|$\overrightarrow b$|=4，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角等于$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影為1．

Answer 1

分析 利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，再利用向量夾角公式與投影公式即可得出．

解答 解：∵$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）=-4$，且|$\overrightarrow a$|=2，|$\overrightarrow b$|=4，
∴$2{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2×2²-4²+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-4，
解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4，
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{4}{2×4}$=$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角等于$\frac{π}{3}$，
$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$上的投影=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{4}{4}$=1．
故答案分別為：$\frac{π}{3}$；1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式與投影公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．