Question

已知△ABC的兩邊長分別為AB=25，AC=39，且O為△ABC外接圓的圓心．（注：39=3×13，65=5×13）
（1）若外接圓O的半徑為

65

2

，且角B為鈍角，求BC邊的長；
（2）求

AO

•

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理求得sinB=

3

5

，sinC=

5

13

，從而求得 cosC=

12

13

，cosB=-

4

5

．再利用兩角和的正弦公式求得 sin（B+C） 的值，利用正弦定理求得BC的值．
（2）把

AO

+

OC

=

AC

平方，再把

AO

+

OB

=

AB

平方，相減可得 2

AO

•

OC

-2

AO

•

OB

=896，即 2

AO

•

BC

=896，從而求得

AO

•

BC

的值．

解答：解：（1）由正弦定理有

AB

sinC

 = 

AC

sinB

=2R，把AB=25，AC=39，外接圓O的半徑為

65

2

，且角B為鈍角代入求得sinB=

3

5

，sinC=

5

13

，
∴cosC=

12

13

，cosB=-

4

5

，∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

16

65

．
再由

BC

sinA

=2R，∴BC=2RsinA=65sin（B+C）=16．
（2）∵

AO

+

OC

=

AC

，∴

AO

2+

OC

2+2

AO

•

OC

=

AC

2=39²，
同理，

AO

+

OB

=

AB

，∴

AO

2+

OB

2+2

AO

•

OB

=

AB

2=25²，
兩式相減可得 2

AO

•

OC

-2

AO

•

OB

=896，
 即 2 

AO

•

BC

=896，∴

AO

•

OB

=448．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，正弦定理、兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．