Question

已知多項式f(n)=

1

5

n5+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n．
（Ⅰ）求f（-1）及f（2）的值；
（Ⅱ）試探求對一切整數(shù)n，f（n）是否一定是整數(shù)？并證明你的結(jié)論．
（Ⅰ） f（-1）=0，f（2）=16．
（Ⅱ） 對一切整數(shù)n，f（n）一定是整數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f（-1）及f（2）的值，直接代入計算即可；
（Ⅱ）先證明：對一切正整數(shù)n，f（n）是整數(shù)．分兩步，其中第二步是關(guān)鍵，利用二項式定理，結(jié)合假設(shè)可證；再證明n=0時，成立；當n為負整數(shù)時，令n=-m，則m是正整數(shù)，由n為正整數(shù)時，成立即可．

解答：解：（Ⅰ）f（-1）=-

1

5

+

1

2

-

1

3

+

1

30

=0
f(2)=

1

5

×25+

1

2

×24+

1

3

×23-

1

30

×2 =17
（Ⅱ）（1）先用數(shù)學歸納法證明：對一切正整數(shù)n，f（n）是整數(shù)．
①當n=1時，f（1）=1，結(jié)論成立．
②假設(shè)當n=k（k≥1，k∈N）時，結(jié)論成立，即 f(k)=

1

5

k5+

1

2

k4+

1

3

k3-

1

30

k是整數(shù)，則當n=k+1時，f(k+1)=

1

5

(k+1)5+

1

2

(k+1)4+

1

3

(k+1)3-

1

30

(k+1)=

C 0 5 k5+ C 1 5 k4+ C 2 5 k3+ C 3 5 k2+ C 4 5 k+ C 5 5

5

+

C 0 4 k4+ C 1 4 k3+ C 2 4 k2+ C 1 4 k+ C 4 4

2

+

C 0 3 k3+ C 1 3 k2+ C 2 3 k+ C 3 3

3

-

1

30

(k+1)
=f（k）+k⁴+4k³+6k²+4k+1
根據(jù)假設(shè)f（k）是整數(shù)，而k⁴+4k³+6k²+4k+1顯然是整數(shù)．
∴f（k+1）是整數(shù)，從而當n=k+1時，結(jié)論也成立．
由①、②可知對對一切正整數(shù)n，f（n）是整數(shù)．…（7分）
（2）當n=0時，f（0）=0是整數(shù)．…（8分）
（3）當n為負整數(shù)時，令n=-m，則m是正整數(shù)，由（1）f（m）是整數(shù)，
所以 f(n)=f(-m)=

1

5

(-m)5+

1

2

(-m)4+

1

3

(-m)3-

1

30

(-m)=-

1

5

m5+

1

2

m4-

1

3

m3+

1

30

m=-f（m）+m⁴是整數(shù)．
綜上，對一切整數(shù)n，f（n）一定是整數(shù)．…（10分）

點評：本題的考點是數(shù)學歸納法，考查數(shù)學歸納法的證題步驟，關(guān)鍵是第二步，必須利用歸納假設(shè)，同時，本題的證明還應(yīng)注意分類討論．