Question

點P（x，y）為曲線C上任一點，點F₂（1，0），直線l：x=4，點P到直線l的距離為d，且滿足

d

|PF2|

=2．
（1）求曲線C的軌跡方程，并且說明其軌跡是何圖形；
（2）點F₁（-1，0），點M為直線l上的一個動點，且直線MF₁與曲線C交于兩點A₁，A₂，直線MF₂與曲線C交于兩點B₁，B₂，求|A₁A₂|+|B₁B₂|的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得

|x-4|

(x-1)2+y2

=2，由此能求出曲線C的軌跡方程，其軌跡是焦點在x軸上的橢圓．
（2）設(shè)直線MF₁：y=k₁（x+1），直線MF₂：y=k₂（x-1），直線MF₁與曲線C交于兩點A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），聯(lián)立直線MF₁與曲線C的方程，得x1+x2=-

8k12

3+4k12

，直線MF₂與曲線C交于兩點B₁（x₃，y₃），B₂（x₄，y₄），聯(lián)立直線MF₂與曲線C的方程，得x3+x4=

8k22

3+4k22

，根據(jù)焦半徑公式，能求出|A₁A₂|+|B₁B₂|的范圍．

解答： 解：（1）∵P（x，y）為曲線C上任一點，點F₂（1，0），
直線l：x=4，點P到直線l的距離為d，且滿足

d

|PF2|

=2．
∴

|x-4|

(x-1)2+y2

=2，
化簡，得曲線C的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1，其軌跡是焦點在x軸上的橢圓．
（2）設(shè)直線MF₁：y=k₁（x+1），直線MF₂：y=k₂（x-1），
∵直線MF₁與曲線C交于兩點A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），
∴聯(lián)立直線MF₁與曲線C的方程，得：
（3+4k12）x2+8k12x+4k12-12=0，x1+x2=-

8k12

3+4k12

，
∵直線MF₂與曲線C交于兩點B₁（x₃，y₃），B₂（x₄，y₄），
∴直線MF₂與曲線C的方程，得：
(3+4k22)x2-8k22x+4k22-12=0，x3+x4=

8k22

3+4k22

，
根據(jù)焦半徑公式，得：
|A₁A₂|+|B₁B₂|=2a+e（x1+x2 ）+2a-e（x₃+x₄）=8+

1

2

(x1+x2)-

1

2

(x3+x4)，
又MF₁，MF₂均過點M（4，m），∴k1=

m

5

，k2=

m

3

，
∴|A₁A₂|+|B₁B₂|=8-

4m2

75+4m2

-

4m2

27+4m2

=6+

75

75+4m2

+

27

27+4m2

，
又m²≥0，∴|A₁A₂|+|B₁B₂|∈（6，8]．

點評：本題考查曲線的軌跡方程的求法，考查兩條線段長的和的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意焦半徑的合理運用．