Question

設(shè)A是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）在第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)為其右焦點，點A關(guān)于原點O的對稱點為B，若AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且α∈[

π

12

，

π

6

]，則雙曲線離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出e²=

1

1-sin2α

，再根據(jù)α∈[

π

12

，

π

6

]，即可求出雙曲線離心率的取值范圍．

解答： 解：設(shè)左焦點為F'，令|AF|=r₁，|AF'|=r₂，則|BF|=|F'A|=r₂，
∴r₂-r₁=2a，
∵點A關(guān)于原點O的對稱點為B，AF⊥BF，
∴|OA|=|OB|=|OF|=c，
∴r12+r22=4c²，
∴r₁r₂=2（c²-a²）
∵S_△ABF=2S_△AOF，
∴

1

2

r₁r₂═2•

1

2

c²sin2α，
∴r₁r₂═2c²sin2α
∴c²sin2α=c²-a²
∴e²=

1

1-sin2α

，
∵α∈[

π

12

，

π

6

]，
∴sin2α∈[

1

2

，

3

2

]，
∴e²=

1

1-sin2α

∈[2，（

3

+1）²]
∴e∈[

2

，

3

+1]．
故答案為：[

2

，

3

+1]．

點評：本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的靈活運用．