Question

（14分）如圖7,.已知圓O：和定點A(2,1)，

由圓O外一點向圓O引切線PQ，切點為Q，且滿足．(1) 求實數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系；

(2) 求線段PQ長的最小值；(3) 若以P為圓心所作的圓P與圓O有公共點，試求半徑取最小值時圓P的方程．

 

 

Answer 1

【答案】

 

理 解：（1）連為切點，，由勾股定理有

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又由已知，故.

即：.

化簡得實數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：.  

（2）由，得.

=.

故當時，即線段PQ長的最小值為   

解法2：由(1)知，點P在直線l：2x + y－3 = 0 上.

∴  | PQ |_min = | PA |_min ，即求點A 到直線 l 的距離.

∴  | PQ |_min = = .                         

（3）設圓P 的半徑為，

圓P與圓O有公共點，圓O的半徑為1，

即且.

而，

故當時，此時, ，.

得半徑取最小值時圓P的方程為．     

解法2： 圓P與圓O有公共點，圓P半徑最小時為與圓O外切（取小者）的情形，而這時半徑的最小值為圓心O到直線l的距離減去1，圓心P為過原點與l垂直的直線l’ 與l的交點P₀.

   

r = －1 = －1.

又  l’：x－2y = 0,

解方程組，得.即P₀( ,).

∴  所求圓方程為.

【解析】略