Question

20．如圖（1），等腰梯形OABC的上、下底邊長(zhǎng)分別為1、3，底角為∠COA=60°．記該梯形內(nèi)部位于直線x=t（t＞0）左側(cè)部分的面積為f（t）．試求f（t）的解析式，并在如圖（2）給出的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f（t）的圖象．

Answer 1

分析 過(guò)C、B分別作OA的垂線，垂足分別為D、E，設(shè)直線x=t與x軸的交點(diǎn)為P，
討論P(yáng)∈OD、DE、EA以及Ax時(shí)，求出函數(shù)f（t）的解析式，利用分段函數(shù)寫出f（t）的解析式并畫出函數(shù)的圖象．

解答 解：如圖所示，過(guò)C、B分別作OA的垂線，垂足分別為D、E，
設(shè)直線x=t與x軸的交點(diǎn)為P，
則|OD|=|DE|=|EA|=1，|CD|=|BE|=$\sqrt{3}$；
所以，①當(dāng)P∈OD，即t∈（0，1]時(shí)，
f（t）=$\frac{1}{2}$•t•$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²；
②當(dāng)P∈DE，即t∈（1，2]時(shí)，
f（t）=$\frac{1}{2}$•[（t-1）+t]•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2t-1）；
③當(dāng)P∈EA，即t∈（2，3]時(shí)，
f（t）=$\frac{1}{2}$•（1+3）•$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（3-t）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（-t²+6t-5）；
④當(dāng)P∈Ax，即t∈（3，+∞）時(shí)，
f（t）=$\frac{1}{2}$•（1+3）•$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$；
綜上，f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{\sqrt{3}}{2}t}^{2}，t∈（0，1]}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}（2t-1），t∈（1，2]}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}（{-t}^{2}+6t-5），t∈（2，3]}\\{2\sqrt{3}，t∈（3，+∞）}\end{array}\right.$；
畫出函數(shù)f（t）的圖象如圖2所示．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求分段函數(shù)的解析式、畫分段函數(shù)的圖象的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．