Question

【題目】如圖，橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，軸，直線交軸于點(diǎn)，，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，的面積的最大值為1.

(1)求橢圓的方程；

(2)過點(diǎn)作兩條直線與橢圓分別交于且使軸，如圖，問四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解析】

（Ⅰ）意味著通徑的一半，最大面積為，所以，故橢圓的方程為.

(Ⅱ)根據(jù)對(duì)稱性，猜測(cè)定點(diǎn)必定在軸上，故可設(shè)，，則，，再設(shè)，根據(jù)三點(diǎn)共線可以得到，聯(lián)立直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后消去，利用韋達(dá)定理可以得到，從而過定點(diǎn)，同理直線也過即兩條直線交于定點(diǎn).

（Ⅰ）設(shè)，由題意可得，即.

∵是的中位線，且，

∴，即，整理得.①

又由題知，當(dāng)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，

∴，整理得，即，②

聯(lián)立①②可得，變形得，解得，進(jìn)而.

∴橢圓的方程式為.

(Ⅱ)設(shè)，，則由對(duì)稱性可知，.

設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，

聯(lián)立，消去，得，

∴，，

由三點(diǎn)共線，即，

將，代入整理得，

即，從而，化簡得，解得，于是直線的方程為， 故直線過定點(diǎn).同理可得過定點(diǎn)，

∴直線與的交點(diǎn)是定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.