Question

設(shè){a_n}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)和
（1）若S_n=20，S_2n=40，求S_3n的值；
（2）若互不相等正整數(shù)p，q，m，使得p+q=2m，證明：不等式S_pS_q＜S_m²成立；
（3）是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立（n∈N^*），若存在，試求出常數(shù)k和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n也是等差數(shù)列，得到S_n+（S_3n-S_2n）=2（S_2n-S_n），從而可求S_3n的值；
（2）S_pS_q=pq（a₁+a_p）（a₁+a_q）=pq[a₁²+a₁（a_p+a_q）+a_pa_q]，進(jìn)而利用基本不等式可證；
（3）設(shè)a_n=pn+q（p，q為常數(shù)），則Ka_n²-1=kp²n²+2kpqn+kq²-1，
，
則 ，故有 ，由此能夠求出常數(shù) 及等差數(shù)列 滿(mǎn)足題意．
解答：解：（1）在等差數(shù)列{a_n}中，S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…成等差數(shù)列，
∴S_n+（S_3n-S_2n）=2（S_2n-S_n）
∴S_3n=3 S_2n-3 S_n=60…（4分）
（2）S_pS_q=pq（a₁+a_p）（a₁+a_q）
=pq[a₁²+a₁（a_p+a_q）+a_pa_q]
=pq（a₁²+2a₁a_m+a_pa_q）＜（）²[a₁²+2a₁a_m+（）²]
=m²（a₁²+2a₁a_m+a_m²）=[m（a₁+a_m）]²
=S_m²…（8分）
（3）假設(shè)存在常數(shù)k和等差數(shù)列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立．
設(shè)a_n=pn+q（p，q為常數(shù)），則Ka_n²-1=kp²n²+2kpqn+kq²-1，
，
則 ，
故有 ，

由①得p=0或 ．當(dāng)p=0時(shí)，由②得q=0，而p=q=0不適合③，故p≠0把 代入②，得 把 代入③，又 得 ，從而 ．故存在常數(shù) 及等差數(shù)列 滿(mǎn)足題意．
點(diǎn)評(píng)：本題以等差數(shù)列為載體，考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)先假設(shè)存在常數(shù)k和等差數(shù)列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立．然后再根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行求解．