Question

給出下列四個命題：
①設z₁，z₂，z₃∈C，若（z₁-z₂）²+（z₂-z₃）²=0，則z₁=z₃；
②兩個復數(shù)不能比較大小；
③若z∈C則z-

z

是純虛數(shù)；
④設z₁，z₂∈C，則“z₁+z₂∈R”是“z₁與z₂互為共軛復數(shù)”的必要不充分條件．
其中，真命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：通過舉反例，使得（z₁-z₂）²與（z₂-z₃）²互為相反數(shù)，但z₁≠z₃即可判斷①；通過討論兩復數(shù)是否為實數(shù)，來判斷②；舉反例，若z為實數(shù)，則z-

z

是0，來判斷③；由共軛復數(shù)的概念，加上充分必要條件的定義即可判斷④．

解答： 解：①設z₁，z₂，z₃∈C，比如z₁=1，z₂=1-i，z₃=-i，有（z₁-z₂）²+（z₂-z₃）²=0，但z₁≠z₃，故①錯；
②兩個復數(shù)若均為實數(shù)，可比較大小，若不全為實數(shù)，則不能比較大小，故②錯；
③若z∈C，設z=x+yi（x，y為實數(shù)），

.

z

=x-yi，則z-

z

=2yi，若y=0，即為0，y≠0，即為純虛數(shù)，故③錯；
④設z₁，z₂∈C，若z₁與z₂互為共軛復數(shù)，則z₁+z₂=2a∈R，反之不一定成立，故“z₁+z₂∈R”是“z₁與z₂互為共軛復數(shù)”的必要不充分條件，故④正確．
故答案為：④．

點評：本題以命題的真假為載體，考查復數(shù)的有關概念：實數(shù)、純虛數(shù)、共軛復數(shù)，以及復數(shù)的比較，要注意與實數(shù)范圍內(nèi)有關結(jié)論的比較，屬于基礎題．