Question

已知函數(shù)y=

2

x-1

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性
（2）求函數(shù)在區(qū)間是區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性和最值之間的關(guān)系確定函數(shù)的最大值和最小值．

解答：解：（1）設(shè)x₁、x₂是區(qū)間（1，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-1)-2(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

．
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴f(x1)-f(x2)=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴f（x）在區(qū)間[2，6]上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得最大值f（2）=2，
當(dāng)x=6時(shí)，f（x）取得最大值f（6）=

2

6-1

=

2

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用定義法是證明單調(diào)性的基本方法，利用函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)最值的常用方法．