Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定直線l：x=2

2

的距離與點(diǎn)P到定點(diǎn)F(

2

，0)之比為

2

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡c的方程；
（2）若點(diǎn)N為軌跡C上任意一點(diǎn)（不在x軸上），過原點(diǎn)O作直線AB交（1）中軌跡C于點(diǎn)A、B，且直線AN、BN的斜率都存在，分別為k₁、k₂，問k₁•k₂是否為定值？
（3）若點(diǎn)M為圓O：x²+y²=4上任意一點(diǎn)（不在x軸上），過M作圓O的切線，交直線l于點(diǎn)Q，問MF與OQ是否始終保持垂直關(guān)系？

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P，利用兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出P到定直線的距離和到點(diǎn)F的距離的比，建立方程求得x和y的關(guān)系式，即P的軌跡方程．
（2）設(shè)出N，A，則B的坐標(biāo)可知，代入圓錐曲線的方程相減后，可求得k₁•k₂=-

1

2

，證明原式．
（3）設(shè)M（x₀，y₀），則可表示出切線方程，與x=2

2

聯(lián)立求得Q的坐標(biāo)表達(dá)式，則可分別表示出

OQ

和

FM

，進(jìn)而利用向量的運(yùn)算法則求得

OQ

•

FM

結(jié)果為0，判斷出

OQ

⊥

FM

．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），依題意，有

(x- 2 )2+y2

|x-2 2 |

=

2

2

．
整理，得

x2

4

+

y2

2

=1．
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．

（2）由題意：設(shè)N（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
則B（-x₂，-y₂）

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1
k₁•k₂=

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=

y12-y22

x12-x22

=

2- 1 2 x12-2+ 1 2 x22

x12-x22

=-

1

2

為定值．

（3）M（x₀，y₀），則切線MQ的方程為：xx₀+yy₀=4
由

xx0+yy0=4 x=2 2

得Q(2

2

，

4-2 2 x0

y0

)

FM

=(x0-

2

，y0)，

OQ

=(2

2

，

4-2 2 x0

y0

)

FM

•

OQ

=2

2

x0-4+y0

4-2 2 x0

y0

=0
所以：

FM

⊥

OQ

即MF與OQ始終保持垂直關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．當(dāng)涉及直線的斜率的時(shí)候，點(diǎn)差法是常用的方法，能把直線的斜率和曲線方程，交點(diǎn)坐標(biāo)，交點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)等向聯(lián)系．