Question

已知函數f（x）滿足，其中a＞0，a≠1．
（1）判斷函數f（x）的單調性，并證明；
（2）若函數f（x）的定義域為（-1，1）時，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令log_ax=t，則x=a ^t
所以f（t）=（a^t-a^-t），
∴f（x）=（a^x-a^-x），
任取x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=[（a^x₁-a^-x₁）-（a^x₂-a^-x₂）]
=[（a^x₁-a^x₂）-（a^-x₂-a^-x₁）]
=[（a^x₁-a^x₂）（1+a^-x₂-a^-x₁）]
當a＞1時，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）為R上的增函數；
當0＜a＜1時，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）也為R上的增函數；
（2）定義域關于原點對稱，f（-x）=（a^-x-a^x）=-f（x），
所以f（x）為奇函數．
因為函數f（x）的定義域是（-1，1）
所以有-1＜1-m＜1 ①
-1＜1-m²＜1 ②
又f（x）是奇函數，所以f（1-m）+f（1-m²）＞0可變?yōu)閒（1-m）＞f（m²-1）
又f（x）在（-1，1）內是減函數，所以1-m＜m²-1 ③
由①、②、③得 ．
分析：（1）令log_ax=t，則x=a ^t得到f（x）=（a^x-a^-x），任取x₁＜x₂，計算f（x₁）-f（x₂），然后根據指數函數的單調性，建立不等關系，化簡即可得到f（x₁）與f（x₂）大小關系，從而得到函數的單調性．
（2）根據定義域先建立兩個不等關系式，再結合函數的單調性和奇偶性建立關系式，解之即可．
點評：本題主要考查了函數單調性與奇偶性的應用，以及不等式的求解，屬于中檔題．