Question

（2012•山西模擬）已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（1）當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；
（2）若a=2時(shí)，方程f（x）=m有三個(gè)不同的實(shí)根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a＞2時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)y=f（x）表達(dá)式，通過2＜a≤3，a＞3分別求出函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值即可；
（2）若a=2時(shí)，方程f（x）=m有三個(gè)不同的實(shí)根，畫出函數(shù)的圖象，即可求解m的取值范圍．

解答：解：（1）∵a＞2，x∈[1，2]，
∴f（x）=x（a-x）=-x²+ax=-（x-

a

2

）²+

a2

4

，
當(dāng)1＜

a

2

≤

3

2

，即2＜a≤3時(shí)，f（x）_min=f（2）=2a-4，
當(dāng)

a

2

＞

3

2

，即a＞3時(shí)，f（x）_min=f（1）=a-1．
∴f（x）=

2a-4     ，2＜a≤3 a-1       ，a＞3

．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=

x2-2x     ，x≥2 -x2+2x      ，x＜2

，
如圖為f（x）的圖象，
∵方程f（x）=m有三個(gè)不同的實(shí)根，
∴m的取值范圍是：0＜m＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合，計(jì)算能力．