給定的拋物線y2=2px（p＞0），在x軸上是否存在一點K，使得對于拋物線上任意一條過K的弦PQ，均有
1
|KP|2
+
1
|KQ|2
為定值，若存在，求出點K及定值；若不存在，說明理由．
分析：先假設(shè)存在點K滿足條件，然后設(shè)出直線PQ的參數(shù)方程后代入到拋物線中得到關(guān)于t的一元二次方程，進而根據(jù)韋達定理得到兩根之和與兩根之積，再代入到
1
|KP|2
+
1
|KQ|2
中得到
1
|KP|2
+
1
|KQ|2
=
p2cos2α+px0sin2α
p2x02
，從而可得到使得
1
|KP|2
+
1
|KQ|2
不隨α變化而變化，只要取x0=p即可滿足要求，即可求出點K的坐標．
解答：解：設(shè)存在點K（x0，0）滿足題意，
直線PQ：
x=x0+tcosα
y=tsinα
（α為直線的傾斜角，t為參數(shù)），
代入y2=2px，得t2sin2α-（2pcosα）t-2px0=0，
令t1，t2為方程的兩根，則由韋達定理，
得t1+t2=
2pcosα
sin2α
，t1t2=-
2px0
sin2α
，
∴
1
|KP|2
+
1
|KQ|2
=
1
t
2
1
+
1
t
2
2
=
t
2
1
+
t
2
2
t
2
1
t
2
2
=
(
t
 
1
+
t
 
2
)2-2
t
 
1
t
 
2
(
t
 
1
t
 
2
)2
=
4p2cos2α+4px0sin2α
4p2x02

=
p2cos2α+px0sin2α
p2x02

要使得
1
|KP|2
+
1
|KQ|2
不隨α變化而變化，只要取x0=p即可，
此時
1
|KP|2
+
1
|KQ|2
=
1
p2
為定值．這就是說這樣的K存在，即K（p，0）．
點評：本題主要考查直線方程的參數(shù)形式和直線與拋物線的綜合應(yīng)用．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的重點，每年必考，要多加練習．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關(guān)弦”．已知當x＞2時，點P（x，0）存在無窮多條“相關(guān)弦”．給定x0＞2．
（I）證明：點P（x0，0）的所有“相關(guān)弦”中的中點的橫坐標相同；
（II）試問：點P（x0，0）的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點，記O為坐標原點．
（1）求
OA
•
OB
的值；
（2）設(shè)
AF
=λ
FB
，當三角形OAB的面積S∈[2，
5
]時，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給定整數(shù)n≥2，設(shè)M0（x0，y0）是拋物線y2=nx-1與直線y=x的一個交點．試證明對任意正整數(shù)m，必存在整數(shù)k≥2，使（
x
m
0
，y
m
0
）為拋物線y2=kx-1與直線y=x的一個交點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•長寧區(qū)二模）設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，過F且垂直于x軸的直線與拋物線交于P1，P2兩點，已知|P1P2|=8．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)m＞0，過點M（m，0）作方向向量為
d
=(1，
3
)的直線與拋物線C相交于A，B兩點，求使∠AFB為鈍角時實數(shù)m的取值范圍；
（3）①對給定的定點M（3，0），過M作直線與拋物線C相交于A，B兩點，問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切？若存在，請求出這條直線；若不存在，請說明理由．
②對M（m，0）（m＞0），過M作直線與拋物線C相交于A，B兩點，問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切？（只要求寫出結(jié)論，不需用證明）

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