Question

 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．證明直線BC′平行于平面D′AC，并求直線BC′到平面D′AC的距離．

Answer 1

【答案】分析：建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面D′AC的一個(gè)法向量為=（2，1，-2），再根據(jù) =-0，可得 ⊥，
可得直線BC′平行于平面D′AC．求出點(diǎn)B到平面D′AC的距離d= 的值，即為直線BC′到平面D′AC的距離．
解答：解：以D′A′所在的直線為x軸，以D′C′所在的直線為y軸，以D′D所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則由題意可得，點(diǎn)A（1，0，1 ）、B（1，2，1）、C（0，2，1）、C′（0，2，0）、D′（0，0，0）．
設(shè)平面D′AC的一個(gè)法向量為=（u，v，w），則由⊥，⊥，可得，．
∵=（1，0，1），=（0，2，1），∴，解得．
令v=1，可得 u=2，w=-2，可得=（2，1，-2）．
由于=（-1，0，-1），∴=-0，故有 ⊥．
再由BC′不在平面D′AC內(nèi)，可得直線BC′平行于平面D′AC．
由于=（1，0，0），可得點(diǎn)B到平面D′AC的距離d===，
故直線BC′到平面D′AC的距離為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用向量法證明直線和平面平行，求直線到平面的距離的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．