Question

某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響；
（1）假設(shè)這名射手射擊3次，求恰有兩次擊中目標(biāo)的概率；
（2）假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分．在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外一次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加2分．記ξ為射手射擊3次后的總得分，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：（1）根據(jù)射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響，故這名射手射擊3次，求恰有兩次擊中目標(biāo)的概率 ．
（2）由題意可得若3次都沒有擊中，則得分ξ=0分．若3次射擊只有一次擊中，則得分ξ=1分．若3次射擊只有2次擊中，且這兩次射擊不連續(xù)，則得分ξ=2分．
若3次射擊有2次連續(xù)擊中，而另外一次未擊中，則額外加1分，此時(shí)得分ξ=3分．
若3次全擊中，則額外加2分，此時(shí)得分ξ=5分．
故ξ的分布列為 =，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=+=，
P（ξ=5）==．
∴得分ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×+1×+2×+3×+5×=．
分析：（1）根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，可得這名射手射擊3次，求恰有兩次擊中目標(biāo)的概率，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）由題意可得，得分ξ=0，1，2，3，5，再分別求得ξ取每一個(gè)值的概率，即可求得恰有兩次擊中目標(biāo)的概率，再根據(jù)得分ξ的數(shù)學(xué)期望的定義，求得ξ的數(shù)學(xué)期望．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，屬于中檔題．