Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x+1）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若對于任意的x∈（-∞，0），都有f（x）＞k，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1）的值，再求出f（1），然后直接利用直線方程的點斜式得切線方程；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的最小值，根據(jù)f（x）＞k，可得k小于f（x）在（-∞，0）上的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x（x+1），
∴f′（x）=e^x（x+1）+e^x=e^x（x+2），
∴f′（0）=e⁰•（0+2）=2，
又f（0）=1，
∴曲線曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為：
y-1=2（x-0），即2x-y+1=0；
（Ⅱ）令f′（x）=0，得x=-2，
當(dāng)x變化時，f（x）和f′（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

∴f（x）在（-∞，-2）上遞減，在（-2，0）上遞增，
∴f（x）在（-∞，0）上的最小值是f（-2）=-e^-2．
∴-e^-2＞k，即k＜-e^-2．
∴k的取值范圍是（-∞，-e^-2）．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．