Question

曲線C₁的參數(shù)方程為

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），將曲線C₁上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)伸長為原來的

3

倍，得到曲線C₂．
（Ⅰ）求曲線C₂的普通方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)B（1，1），曲線C₂與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，P為曲線C₂上任意一點(diǎn)，求|PA|²-|PB|²的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,兩點(diǎn)間的距離公式

專題：直線與圓,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由題意可得，曲線C₂的參數(shù)方程為

x=2cosθ y= 3 sinθ

，再消去參數(shù)θ可得

x2

4

+

y2

3

=1，即為所求．
（Ⅱ）由題意可得A（-2，0），設(shè)點(diǎn)P（2cosθ，

3

sinθ），求得|PA|²-|PB|² =3+2

39

sin（θ+∅），從而求得|PA|²-|PB|²的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得，曲線C₂的參數(shù)方程為

x=2cosθ y= 3 sinθ

，再消去參數(shù)θ可得

x2

4

+

y2

3

=1，即為所求的曲線C₂的普通方程．
（Ⅱ）由題意可得A（-2，0），設(shè)點(diǎn)P（2cosθ，

3

sinθ），
則|PA|²-|PB|² =[（2cosθ+2）²+3sin²θ]-[（2cosθ-1）²+(

3

sinθ-1)2]=3+12cosθ+2

3

sinθ=3+2

39

sin（θ+∅），
其中，sin∅=

6

39

，cos∅=

3

39

，故|PA|²-|PB|²的最大值為 3+2

39

．

點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的最大值，屬于中檔題．