Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n³+a_n²（1-a_n+1）+1=a_n+1（n∈N⁺）；
（1）證明：a_n+1＞a_n；
（2）若b_n=（1-

an2

an+12

）

1

an

，證明：0＜

n

k-1

b_k＜2．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n³+a_n²（1-a_n+1）+1=a_n+1（n∈N⁺），化為an+1=

a 3 n + a 2 n +1

a 2 n +1

，作差比較即可證明．
（2）由a₁=1＞0，a_n+1＞a_n，可得?n∈N^*，a_n＞0，1-

a 2 n

a 2 n+1

＞0，可得b_n＞0，0＜

n

k-1

b_k．另一方面：b_n=

(an+1+an)(an-1-an)

an a 2 n+1

＜

2an+1(an+1-an)

an a 2 n+1

=2(

1

an

-

1

an+1

)，利用“累加求和”即可證明．

解答： 證明：（1）∵a_n³+a_n²（1-a_n+1）+1=a_n+1（n∈N⁺），化為an+1=

a 3 n + a 2 n +1

a 2 n +1

，
∴a_n+1-a_n=

a 2 n -an+1

a 2 n +1

=

(an- 1 2 )2+ 3 4

a 2 n +1

＞0，
∴a_n+1＞a_n；
（2）∵a₁=1＞0，a_n+1＞a_n，∴?n∈N^*，a_n＞0，
∴1-

a 2 n

a 2 n+1

＞0，
∴b_n=（1-

an2

an+12

）

1

an

＞0，∴0＜

n

k-1

b_k．
另一方面：b_n=（1-

an2

an+12

）

1

an

=

(an+1+an)(an+1-an)

an a 2 n+1

＜

2an+1(an+1-an)

an a 2 n+1

=2(

1

an

-

1

an+1

)，
∴

n

k-1

b_k＜2[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an

-

1

an+1

)]=2(1-

1

an+1

)＜2．
∴0＜

n

k-1

b_k＜2．

點評：本題考查了“累加求和”、“放縮法”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了數(shù)列的變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．