Question

甲乙兩支球隊(duì)進(jìn)行總決賽，比賽采用七場(chǎng)四勝制，即若有一隊(duì)先勝四場(chǎng)，則此隊(duì)為總冠軍，比賽就此結(jié)束．因兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，每場(chǎng)比賽兩隊(duì)獲勝的可能性均為二分之一．據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，第一場(chǎng)比賽可獲得門(mén)票收入40萬(wàn)元，以后每場(chǎng)比賽門(mén)票收入比上一場(chǎng)增加10萬(wàn)元．
（Ⅰ）求總決賽中獲得門(mén)票總收入恰好為300萬(wàn)元的概率；
（Ⅱ）設(shè)總決賽中獲得的門(mén)票總收入為X，求X的均值E（X）．

Answer 1

分析：（I）依題意每場(chǎng)比賽獲得的門(mén)票收入數(shù)組成首項(xiàng)為40，公差為10的等差數(shù)列，設(shè)此數(shù)列為{a_n}，根據(jù)a₁=40，a_n=10n+30，得到數(shù)列的前n項(xiàng)和，得到n的值，從而可得結(jié)論；
（II）確定隨機(jī)變量X可取的值，求出相應(yīng)的概率，即可求X的均值E（X）．

解答：解：（I）依題意，每場(chǎng)比賽獲得的門(mén)票收入組成首項(xiàng)為40，公差為10的等差數(shù)列．
設(shè)此數(shù)列為{a_n}，則易知a₁=40，a_n=10n+30，
∴Sn=

n(10n+70)

2

=300，
解得n=-12（舍去）或n=5，所以此決賽共比賽了5場(chǎng)．        …（3分）
則前4場(chǎng)比賽的比分必為1：3，且第5場(chǎng)比賽為領(lǐng)先的球隊(duì)獲勝，其概率為

C

1 4

(

1

2

)4=

1

4

；…（6分）
（II）隨機(jī)變量X可取的值為S₄，S₅，S₆，S₇，即220，300，390，490    …（7分）
又P(X=220)=2•(

1

2

)4=

1

8

，P(X=300)=

C

1 4

(

1

2

)4=

1

4

…（8分）P(X=390)=

C

2 5

(

1

2

)5=

5

16

，P(X=490)=

C

3 6

(

1

2

)6=

5

16

…（12分）
所以，X的分布列為

X	220	300	390	490
P	1 8	1 4	5 16	5 16

所以X的均值為E（X）=220×

1

8

+300×

1

4

+390×

5

16

+490×

5

16

=377.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查等差數(shù)列的運(yùn)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與均值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．