Question

已知：有窮數(shù)列{a_n}共有2k項(xiàng)（整數(shù)k≥2 ），a₁=2，設(shè)該數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n且滿足S_n+1=aS_n+2（n=1，2，…，2k-1），a＞1．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（3）設(shè)c_n=，若a=2，求滿足不等式≥時(shí)k的最小值．

Answer 1

解：（1）由S_n+1=aS_n+2（n=1，2，，2k-1）（1）
S_n=aS_n-1+2（n=2，3，，k）（2）
（1）-（2）得a_n+1=a•a_n（n=2，3，，2k-1）
由（1）式S₂=aS₁+2，a₁+a₂=aS₁+2
解得a₂=2a，因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534847.png' />
所以{a_n}是以2為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列，a_n=2•a^n-1（n=1，2，2k）
（2）∵b_n-b_n-1=log₂a_n-log₂a_n-1=log₂a_n-1log₂=log₂a（n=2，3，2k）
∴{b_n}是以b₁=1為首項(xiàng)，以log₂a（a＞1）為公差的等差數(shù)列
∴T_n==
=n+（a＞1，n=1，2，，2k）
（3）c_n==1+=1+（n=1，2，，2k）
當(dāng)c_n≤時(shí)，n≤k+，n為正整數(shù)，知n≤k時(shí)，c_n＜
當(dāng)n≥k+1時(shí)，c_n＞
=（-c₁）+（-c₂）++（-c_k）+（c_k+1-）++（c_2k-）
=（c_k+1+c_k+2++c_2k）-（c₁+c₂++c_k）
={[k+（k+1）++（2k-1）]+2k}-{[1+2++（k-1）]+k}
=[-]
=≥
即11k²-72k+3≥0，（11k-6）（k-6）≥0解得k≥6或k≤
所以滿足條件的k的最小值為6．
分析：（1）由S_n+1=aS_n+2（n=1，2，，2k-1），知S_n=aS_n-1+2（n=2，3，，k），由此得a_n+1=a•a_n，從而能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n-b_n-1=log₂a_n-log₂a_n-1=log₂a_n-1log₂=log₂a（n=2，3，2k），知{b_n}是以b₁=1為首項(xiàng)，以log₂a（a＞1）為公差的等差數(shù)列，由此能求出T_n．
（3）c_n==1+=1+（n=1，2，，2k），當(dāng)c_n≤時(shí)，n≤k+，n為正整數(shù)，知n≤k時(shí)，c_n＜．當(dāng)n≥k+1時(shí)，11k²-72k+3≥0，由此解得滿足條件的k的最小值為6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用．