Question

求下列函數的值域：

(1) y＝x－；

(2) y＝x2－2x－3，x∈(－1，4]；

(3) y＝，x∈[3，5]；

(4) y＝ (x>1)．

 

Answer 1

（1）（2）[－4，5]．（3）（4）[2－2，＋∞)．

【解析】(1) (換元法)設＝t，t≥0，則y＝ (t2＋2)－t＝2－，當t＝時，y有最小值－，故所求函數的值域為.

(2) (配方法)配方，得y＝(x－1)2－4，因為x∈(－1，4]，結合圖象知，所求函數的值域為[－4，5]．

(3) (解法1)由y＝＝2－，結合圖象知，函數在[3，5]上是增函數，所以ymax＝，ymin＝，故所求函數的值域是.

(解法2)由y＝，得x＝.因為x∈[3，5]，所以3≤≤5，解得≤y≤，

即所求函數的值域是.

(4) (基本不等式法)令t＝x－1，則x＝t＋1(t>0)，

所以y＝＝t＋－2(t>0)．

因為t＋≥2＝2，當且僅當t＝，即x＝＋1時，等號成立，

故所求函數的值域為[2－2，＋∞)．