證明不等式x-
x2
2
＜ln（1+x）＜x-
x2
2(1+x)
，x∈（0，+∞）
分析：先證明前半部分，設函數(shù)f（x）=x-
x2
2
-ln（1+x），利用導數(shù)可判斷其單調(diào)性，從而可證；同理可證后半段，通過構造函數(shù)g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x（x＞0），利用一階導數(shù)與二階導數(shù)判斷即可證得結論．
解答：證明：先證明前半部分，設函數(shù)f（x）=x-
x2
2
-ln（1+x），
顯然f（0）=0，f′（x）=1-x-
1
1+x
=-
x2
1+x
，
∴當x＞0時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）=x-
x2
2
-ln（1+x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當x＞0時，f（x）＜f（0）=0，即x-
x2
2
＜ln（1+x）；①
后半部分成立，相當于證明：2（1+x）ln（1+x）＜x2+2x．
設g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x（x＞0），
∵g（0）=0，g′（x）=2[ln（1+x）-x]，
∴g′′（x）=2（
1
1+x
-1）=-
x
1+x
＜0，
∴g′（x）=2[ln（1+x）-x]在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當x＞0時，g′（x）＜g′（0）=0，
∴g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（0）=0，即2（1+x）ln（1+x）＜x2+2x．
∴l(xiāng)n（1+x）＜x-
x2
2(1+x)
．②
∴x-
x2
2
＜ln（1+x）＜x-
x2
2(1+x)
．
點評：本題考查不等式的證明，突出考查導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用，考查一階導數(shù)與二階導數(shù)的綜合應用，考查推理、分析與證明的能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x2
2
+ax+b，其中a、b∈R，g（x）=ex（e是自然對數(shù)的底）．
（1）當b＜a＜1，f（1）=0，且函數(shù)y=2f（x）+1的零點，證明：-
3
2
＜b≤-
1
2
；
（2）當b=1時，若不等式f（x）≤g（x）在x∈(
1
2
，+∞)恒成立，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x+alnx．
（1）若a＜0證明：對于任意的兩個正數(shù)x1，x2，總有
f(x1)+f(x2)
2
≥f（
x1+x2
2
）成立；
（2）若對任意的x∈[1，e]，不等式：f（x）≤（a+3）x-
1
2
x2恒成立，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
1
2
ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設函數(shù)f（x）的最大值為g（a），試證明不等式：g（a）＞ln（1+
a
2
）-1
（3）首先閱讀材料：對于函數(shù)圖象上的任意兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)圖象上存在點M（x0，y0）（x0∈（x1，x2）），使得f（x）在點M處的切線l∥AB，則稱AB存在“相依切線”特別地，當x0=
x1+x2
2
時，則稱AB存在“中值相依切線”．請問在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切線”？若存在，求出一組A、B的坐標；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：安徽模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
x2
2
+ax+b，其中a、b∈R，g（x）=ex（e是自然對數(shù)的底）．
（1）當b＜a＜1，f（1）=0，且函數(shù)y=2f（x）+1的零點，證明：-
3
2
＜b≤-
1
2
；
（2）當b=1時，若不等式f（x）≤g（x）在x∈(
1
2
，+∞)恒成立，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案