(2009•盧灣區(qū)二模)如圖,已知點H(-3,0),動點P在y軸上,點Q在x軸上,其橫坐標不小于零,點M在直線PQ上,且滿足
HP
PM
=0
,
PM
=-
3
2
MQ

(1)當點P在y軸上移動時,求點M的軌跡C;
(2)過定點F(1,0)作互相垂直的直線l與l',l與(1)中的軌跡C交于A、B兩點,l'與(1)中的軌跡C交于D、E兩點,求四邊形ADBE面積S的最小值;
(3)(在下列兩題中,任選一題,寫出計算過程,并求出結果,若同時選做兩題,
則只批閱第②小題,第①題的解答,不管正確與否,一律視為無效,不予批閱):
①將(1)中的曲線C推廣為橢圓:
x2
2
+y2=1
,并
將(2)中的定點取為焦點F(1,0),求與(2)相類似的問題的解;
②(解答本題,最多得9分)將(1)中的曲線C推廣為橢圓:
x2
a2
+
y2
b2
=1
,并
將(2)中的定點取為原點,求與(2)相類似的問題的解.
分析:(1)設M(x,y),P(0,b),Q(a,0)(a≥0),
 HP 
=(3 , b)
,
 PM 
=(x , y-b)
 MQ 
=(a-x , -y)
,由
 PM 
=-
3
2
 MQ 
,得
x=-
3
2
(a-x)
y-b=
3
2
y
0,從而a=
1
3
x
,b=-
1
2
y
,由
 HP 
 PM 
=0
,得HP⊥PM,由此能求出M的軌跡C.
(2)設直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0),直線l'的方程為y=-
1
k
(x-1)
,(k≠0),設A(x1,y1)、B(x2,y2),由
y=k(x-1)
y2=4x
,得ky2-4y-4k=0,故|AB|=
4(1+k2)
k2
,同理|DE|=4(1+k2)由此能求出四邊形ADBE面積S的最小值.
(3)①當k≠0時設直線l的方程為y=k(x-1),由
y=k(x-1)
x2
2
+y2=1
,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,故|AB|=
2
2
(1+k2)
1+2k2
,|DE|=
2
2
(1+k2)
k2+2
,由此能求出四邊形ADBE面積S的最小值.
②由題設,設直線l的方程為y=kx,當k≠0時,由
y=kx
x2
a2
+
y2
b2
=1
,得(b2+a2k2)x2-a2b2=0,所以|AB|=
2ab
1+k2
b2+a2k2
,同理|DE|=
2ab
1+k2
b2k2+a2
,由此能求出四邊形ADBE面積S的最小值.
解答:解:(1)設M(x,y),P(0,b),Q(a,0)(a≥0),易知
 HP 
=(3 , b)
,
 PM 
=(x , y-b)
,
 MQ 
=(a-x , -y)
,由題設
 PM 
=-
3
2
 MQ 
,
x=-
3
2
(a-x)
y-b=
3
2
y
其中a≥0,從而a=
1
3
x
,b=-
1
2
y
,且x≥0,
又由已知
 HP 
 PM 
=0
,得HP⊥PM,
當b≠0時,y≠0,此時kHP=
b
3
,得kPM=-
3
b
,
又kPM=kPQ,故-
b
a
=-
3
b
a=
b2
3
,即
1
3
x=
1
3
(-
1
2
y)2
,y2=4x(x≠0),
當b=0時,點P為原點,HP為x軸,PM為y軸,點Q也為原點,從而點M也為原點,因此點M的軌跡C的方程為y2=4x,它表示以原點為頂點,以(1,0)為焦點的拋物線;                                         (4分)
(2)由題設,可設直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0),直線l'的方程為y=-
1
k
(x-1)
,(k≠0),又設A(x1,y1)、B(x2,y2),
則由
y=k(x-1)
y2=4x
,消去x,整理得ky2-4y-4k=0,
|AB|=
4(1+k2)
k2
,同理|DE|=4(1+k2),(7分)
S=
1
2
|AB|•|DE|=
1
2
4(1+k2)
k2
•4(1+k2)=8(k2+
1
k2
+2)≥32
,當且僅當k=±1時等號成立,因此四邊形ADBE面積S的最小值為32.(9分)
(3)①當k≠0時可設直線l的方程為y=k(x-1),
y=k(x-1)
x2
2
+y2=1
,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
|AB|=
2
2
(1+k2)
1+2k2
|DE|=
2
2
(1+k2)
k2+2
,(12分)S=
4(1+k2)2
(1+2k2)(k2+2)
=2-
2k2
2k4+5k2+2
=2-
2
2k2+
2
k2
+5
16
9

當且僅當k2=1時等號成立.(14分)
當k=0時,易知|AB|=2
2
|DE|=
2
,得S=2>
16
9
,故當且僅當k2=1時四邊形ADBE面積S有最小值
16
9
.(15分)
②由題設,可設直線l的方程為y=kx,當k≠0時,由
y=kx
x2
a2
+
y2
b2
=1

消去x,整理得(b2+a2k2)x2-a2b2=0,得|AB|=
2ab
1+k2
b2+a2k2
,
同理|DE|=
2ab
1+k2
b2k2+a2
,(12分)
S=
1
2
|AB|•|DE|=
2a2b2(1+k2)
(b2+a2k2)(b2k2+a2)
,其中k2>0,
若令u=1+k2,則由v=
(b2+a2k2)(b2k2+a2)
(1+k2)2
=
(a2u-c2)(b2u+c2)
u2
=a2b2+
c4
u
-
c4
u2
=-c4(
1
u
-
1
2
)2+
(a2+b2)2
4
,其中u>1,即0<
1
u
<1
,故當且僅當u=2,即k2=1時,v有最大值
(a2+b2)2
4
,由S=
2a2b2
v
,得S有最小值
4a2b2
a2+b2
,故當且僅當k=±1時,四邊形ADBE面積S有最小值為
4a2b2
a2+b2
.(17分)
又當k=0時,|AB|=2a,|DE|=2b,此時S=2ab,由
4a2b2
a2+b2
<2ab
,得當且僅當k=±1時,四邊形ADBE面積S有最小值為
4a2b2
a2+b2
.(18分)
點評:本題主要考查橢圓標準方程,簡單幾何性質,直線與橢圓的位置關系,圓的簡單性質等基礎知識.考查運算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉化思想.
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