Question

給出下列命題，其中正確的命題是

①②⑤

（寫出所有正確命題的編號）．
①在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，則△ABC是銳角三角形；
②在△ABC中，A＜B是cosA＞cosB的充要條件；
③已知非零向量

a

、

b

，則“

a

•

b

＞0”是“

a

、

b

的夾角為銳角”的充要條件；
④若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則“a₃a₅=16”是“a₄=4”的充分不必要條件；
⑤函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），若對于定義域內(nèi)任意x₁，x₂（x₁≠x₂），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)恒成立，則稱f（x）為恒均變函數(shù)，那么f（x）=x²-2x+3為恒均變函數(shù)．

Answer 1

分析：①依據(jù)正切和角公式的變形及誘導(dǎo)公式推導(dǎo)；
②由于A、B是三角形的內(nèi)角，得到A，B∈（0，π），在（0，π）上，y=cosx是減函數(shù)．
由此知△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，即可得答案；
③夾角為0°時(shí)，也可使則

a

•

b

＞0；
④依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)；
⑤對于所給的每一個(gè)函數(shù)，分別計(jì)算

f(x1)-f(x2)

x1-x2

和f′(

x1+x2

2

)的值，檢驗(yàn)二者是否相等，從而根據(jù)恒均變函數(shù)”的定義，做出判斷．

解答：解：①根據(jù)正切和角公式tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

得到，
tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC，
又tan（A+B）=tan（180°-C）=-tanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，
若三角形有一個(gè)為鈍角，必有一個(gè)值為負(fù)值，tanA•tanB•tanC＜0，
若三角形有一個(gè)為直角，則tanA•tanB•tanC無意義，若∠C=90度，tanC無意義，
當(dāng)tanA•tanB•tanC＞0時(shí)三個(gè)角為銳角，
故tanA+tanB+tanC＞0時(shí)，為銳角三角形，故①正確；
②∵A、B是三角形的內(nèi)角，∴A∈（0，π），B∈（0，π），
∵在（0，π）上，y=cosx是減函數(shù)，
∴△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，故②正確；
③非零向量

a

、

b

，∵

a

、

b

的夾角為銳角，∴

a

•

b

=|

a

||

b

|cosθ＞0，
∵當(dāng)夾角θ=0°時(shí)，滿足

a

•

b

＞0，故③錯；
④∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，∴若a₃a₅=16，則a42=16，即a₄=±4，故④錯；
⑤∵f（x）=x²-2x+3，
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

(x12-2x1)(x22-2x2)

x1-x2

=

(x1-x2)(x1+x2-2)

x1-x2

=x₁+x₂-2，
f′(

x1+x2

2

)=2•

x1+x2

2

-2=x₁+x₂-2，
故滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，∴f（x）=x²-2x+3，為恒均變函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查判斷命題的真假，屬于基礎(chǔ)題，同時(shí)考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，條件的判斷及正切和角公式．