Question

1．如圖，在△PCB中，已知∠PCB=$\frac{π}{2}，∠BPC=\frac{π}{3}$，PB=4．點(diǎn)D為PB的中點(diǎn)．若△APC是△BPC繞直線PC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的，記二面角B-PC-A的大小為θ．
（Ⅰ）當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時(shí)，求證：平面ACD⊥平面PBC；
（Ⅱ）當(dāng)θ=$\frac{2π}{3}$時(shí)，求銳二面角B-CD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時(shí)，根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ACD⊥平面PBC；
（Ⅱ）當(dāng)θ=$\frac{2π}{3}$時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出對(duì)應(yīng)平面的法向量，即可求銳二面角B-CD-A的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）依題可知AC⊥PC，BC⊥PC，
∴∠ACB=θ，…（2分）
當(dāng)$θ=\frac{π}{2}$時(shí)，有AC⊥BC，PC∩BC=C，
∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面PBC…（6分）
（Ⅱ）如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面PBC內(nèi)垂直于BC的直線為x軸，CB，CP所在的直線分別為y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz…（7分）

則$A（{3，-\sqrt{3}，0}）$，$B（{0，2\sqrt{3}，0}）$，C（0，0，0）P（0，0，2）
又點(diǎn)D為PB的中點(diǎn)，
∴$D（{0，\sqrt{3}，1}）$
設(shè)平面ACD的法向量為$\overrightarrow m=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{CA}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{CD}=0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）•（{3，-\sqrt{3}，0}）=0\\（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）•（{0，\sqrt{3}，1}）=0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{x}_{1}-\sqrt{3}{y}_{1}=0}\\{\sqrt{3}{y}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取${y_1}=\sqrt{3}$，
∴x₁=1，z₁=-3，
∴$\overrightarrow m=（{1，\sqrt{3}，-3}）$…（10分）
又平面BCD的法向量$\overrightarrow n=（{1，0，0}）$…（11分）
設(shè)二面角B-CD-A的大小為α，
∴$cosα=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{1}{{\sqrt{13}}}=\frac{{\sqrt{13}}}{13}$
∴銳二面角B-CD-A的余弦值為$\frac{{\sqrt{13}}}{13}$…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間面面垂直的判斷以及空間二面角的求解，建立空間坐標(biāo)系利用向量法是解決空間二面角的常用方法．