Question

已知函數(shù)f（x）=x²ln|x|，
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，再利用偶函數(shù)的定義證明f（-x）=f（x）即可得證；
（Ⅱ）由于函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故先研究函數(shù)當x＞0時的單調(diào)區(qū)間，再利用對稱性得函數(shù)定義域上的單調(diào)性，當x＞0時，先求函數(shù)的導函數(shù)，再解不等式即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x∈R且X≠0}
f（-x）=（-x）²ln|-x|=）=x²ln|x|=f（x）
∴f（x）為偶函數(shù)   
（Ⅱ）當x＞0時，f′（x）=2x•lnx+x²•

1

x

=x（2lnx+1）
若0＜x＜e-

1

2

，則f′（x）＜0，f（x）遞減；
若x＞e-

1

2

，則f′（x）＞0，f（x）遞增； 再由f（x）是偶函數(shù)，
得f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-e-

1

2

）和（e-

1

2

，+∞）；
遞減區(qū)間是（-e-

1

2

，0）和（0，e-

1

2

）．

點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的定義及其判斷方法，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法：導數(shù)法和對稱性法，利用對稱性由局部研究整體的思想方法