Question

已知橢圓C：

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，短軸右端點為A，P（1，0）為線段OA的中點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點P任作一條直線與橢圓C相交于兩點M，N，試問在x上是否存在定點Q，使得∠MQP=∠NQP，若存在，求出點Q坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)短軸右端點為A，P（1，0）為線段OA的中點，求出b，利用離心率e=

6

3

，求出a，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，當(dāng)MN⊥x軸時，x₀∈R；當(dāng)MN與x軸不垂直時，設(shè)MN所在直線的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程化簡，利用韋達定理，結(jié)合若∠MQP=∠NQP，則k_MQ+k_NQ=0，理得k（x₀-4）=0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，b=2，
又e=

6

3

，即

a2-4

a

=

6

3

，解得a=2

3

，…（2分）
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

12

=1．…（4分）
（Ⅱ）假設(shè)存在點Q（x₀，0）滿足題設(shè)條件．
當(dāng)MN⊥x軸時，由橢圓的對稱性可知恒有∠MQP=∠NQP，即x₀∈R； …（6分）
當(dāng)MN與x軸不垂直時，設(shè)MN所在直線的方程為y=k（x-1），
代入橢圓方程化簡得：（k²+3）x²-2k²x+k²-12=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2k2

k2+3

，x₁x₂=

k2-12

k2+3

，
若∠MQP=∠NQP，則k_MQ+k_NQ=0，則
k_MQ+k_NQ=

y1

x1-x0

+

y2

x2-x0

=k[

2(k2-12)

k2+3

-

2(1+x0)k2

k2+3

+2x0]=0，
整理得k（x₀-4）=0，
∵k∈R，∴x₀=4，即Q的坐標(biāo)為Q（4，0）．
綜上，在x軸上存在定點Q（4，0），使得∠MQP=∠NQP．…（12分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．