Question

不等式2x2+x≤4^3x-2的解集為M，求函數(shù)f（x）=log₂（2x）log₂

x

16

（x∈M）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)給的不等式求出x的范圍，然后再將f（x）化簡(jiǎn)成關(guān)于log₂x的二次函數(shù)的形式求范圍．

解答： 解：不等式2x2+x≤43x-2可化為2x2+x≤22(3x-2)，即x²+x≤6x-4，解得M={x|1≤x≤4}
又f(x)=log2(2x)log2

x

16

=(log2x+1)(log2x-4)=(log2x)2-3log2x-4．
令log₂x=t（1≤x≤4），則0≤t≤2，則原函數(shù)化為y=t2-3t-4=(t-

3

2

)2-

25

4

，
所以當(dāng)t=

3

2

取得最小值-

25

4

，當(dāng)t=0時(shí)取最大值-4．
所以-

25

4

≤f(x)≤-4，所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="9fhvflf" class="MathJye">[-

25

4

，-4]．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了指數(shù)不等式的解法，強(qiáng)調(diào)化同底，以及二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問(wèn)題的處理方法．