已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=
3
5
，an+1=
3an
2an+1
，其中n∈N+．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{
1
an
-1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）記Sn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
，若Sn＜100，求最大的正整數(shù)n．
分析：（Ⅰ）利用數(shù)列遞推式，變形可得
1
an+1
-1=
1
3an
-
1
3
，從而可證數(shù)列{
1
an
-1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用等比數(shù)列的求和公式求和，即可求最大的正整數(shù)n．
解答：（Ⅰ）證明：∵
1
an+1
=
2
3
+
1
3an
，∴
1
an+1
-1=
1
3an
-
1
3
，
∵
1
a1
-≠0，∴
1
an
-1≠0(n∈N+），
∴數(shù)列{
1
an
-1}為等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可求得
1
an
-1=
2
3
×(
1
3
)n-1，∴
1
an
=2×(
1
3
)n+1
Sn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=n+2×(
1
3
+
1
32
+…+
1
3n
)=n+2•
1
3
-
1
3n+1
1-
1
3
=n+1-
1
3n
，
若Sn＜100，則n+1-
1
3n
＜100，
∴nmax=99．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=
1
2
，前n項(xiàng)和Sn=n2an（n≥1）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b1=0，bn=
Sn-1
Sn
(n≥2)，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：Tn＜
n2
n+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2，前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N*，當(dāng)n≥2，時(shí)，an總是3Sn-4與2-
52
Sn-1的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=（n+1）an，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，n∈N*，求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•江門一模）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，若?n∈N*，an•an+1=-2，則an=
1，n是正奇數(shù)
-2，n是正偶數(shù)
1，n是正奇數(shù)
-2，n是正偶數(shù)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=3，通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和sn之間滿足2an=Sn•Sn-1（n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{
1Sn
}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=
2
3
，an+1=
2an
an+1
，n∈N+
（Ⅰ）設(shè)bn=
1
an
-1證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）數(shù)列{
n
bn
}的前n項(xiàng)和Sn．

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