Question

15．設橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，且長軸長是短軸長的2倍．又點P（4，1）在橢圓上，求該橢圓的方程．

Answer 1

分析 由橢圓的焦點在x軸上或在y軸上加以討論，分別根據(jù)題意求出橢圓的長半軸a與短半軸b的值，由此寫出橢圓的標準方程，可得答案

解答 解：①當橢圓的焦點在x軸上時，設方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
∵橢圓過點P（4，1），∴$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，
∵長軸長是短軸長的2倍，∴2a=2•2b，即a=2b，
可得a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，
此時橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
②當橢圓的焦點在y軸上時，設方程為$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0）．
∵橢圓過點P（4，1），∴$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{16}{{n}^{2}}$=1，
∵長軸長是短軸長的3倍，可得a=2b，
解得m=$\sqrt{65}$，n=$\frac{\sqrt{65}}{2}$，
此時橢圓的方程為$\frac{{4{x^2}}}{65}+\frac{y^2}{65}$=1．
綜上所述，橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}$=1或$\frac{{4{x^2}}}{65}+\frac{y^2}{65}$=1．

點評 本題給出橢圓的滿足的條件，求橢圓的標準方程，著重考查了利用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程的方法，屬于基礎題．