Question

設函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+cos2x-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值及相應的x值．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）-1，由此求得函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）由x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的最大值及相應的x值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+cos2x-1=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+cos2x-1=

3

2

cos2x+

3

2

sin2x-1=

3

sin（2x+

π

3

）-1，
∴函數(shù)的最小正周期為

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
故當2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

時，f（x）有最大值

3

-1．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．