Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前項和，且S_n=2a_n+n²-3n-2，n=1，2，3…
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-2n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n•（-1）ⁿ，求數(shù){b_n}的n項和P_n；
（Ⅲ）設(shè)c_n=

1

an-n

，數(shù)列{c_n}的n項和為T_n，求證：Tn＜

37

44

．

Answer 1

分析：（I）將S_n=2a_n+n²-3n-2利用數(shù)列中a_n，Sn的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化構(gòu)造出新數(shù)列{a_n-2n}，再據(jù)其性質(zhì)證明．
（Ⅱ）將（I）中所求的a_n代入bn，分組求和法求和．
（III）由于c_n=

1

an-n

=

1

2n+n

，從而得出：當(dāng)n=1時，T₁=

1

3

＜

37

44

；當(dāng)n≥時，T_n=

1

21+1

+

1

22+2

+

1

23+3

+…+

1

2n+n

＜

1

3

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

利用等比數(shù)列的求和公式結(jié)合放縮法即可得到證明．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n+n²-3n-2
∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2
∴a_n+1=2a_n-2n+2
∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）
∴{a_n-2n}是以2為公比的等比數(shù)列．
（II）a₁=S₁=2a₁-4，∴a₁=4，∴a₁-2×1=4-2=2
∴a_n-2n=2ⁿ，∴an=2ⁿ+2n …5分
當(dāng)n為偶數(shù)時，
P_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（b1+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=-（2+2×1）-（2³+2×3）-…-（2^n-1+2（n-1）+（2²+2×2）+（2⁴+2×4）+…+（2ⁿ+2×n）
=

4(1-2n)

1-22

-

2(1-2n)

1-22

+n=

2

3

•（2ⁿ-1）+n         …7分
當(dāng)n為奇數(shù)時，
Pn=-

2n+1+2

3

-（n+1）…9分
綜上，Pn=

- 2n+1 3 -n- 5 3 (n為奇數(shù)) 2 3 •(2n-1) +n(n為偶數(shù))

…10分
（III）c_n=

1

an-n

=

1

2n+n

，
當(dāng)n=1時，T₁=

1

3

＜

37

44

；
當(dāng)n≥時，T_n=

1

21+1

+

1

22+2

+

1

23+3

+…+

1

2n+n

＜

1

3

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1

3

+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

1

3

+

1

2

-

1

2n

=

5

6

-

1

2n

＜

5

6

＜

37

44

．
綜上可知，任意n∈N^*，T_n＜

37

44

．…14分

點評：本題考查等比數(shù)列的判斷、數(shù)列求和，轉(zhuǎn)化，計算的能力．