Question

2．若不等式${x^2}-2{log_a}x≤0在x∈（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 不等式整理為$\frac{1}{2}$x²≤log_ax在x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]時(shí)恒成立，只需$\frac{1}{2}$x²的最大值小于log_ax的最小值，利用分類討論對(duì)a討論即可．

解答 解：不等式${x^2}-2{log_a}x≤0在x∈（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$恒成立，
即為$\frac{1}{2}$x²≤log_ax在x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]時(shí)恒成立，
∴$\frac{1}{2}$x²的最大值小于log_ax的最小值．
∴$\frac{1}{2}$x²≤$\frac{1}{4}$≤log_ax，
當(dāng)a＞1時(shí)，log_ax為遞增，但最小值為負(fù)數(shù)不成立．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_ax為遞減，
最小值在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$上取到，
∴l(xiāng)og_a $\frac{\sqrt{2}}{2}$≥$\frac{1}{4}$=log_a$\frac{1}{4}$，
∴a≥$\frac{1}{4}$，
故a的最小值為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和恒成立思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．