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已知1≤x2＋y2≤2，求證：≤x2－xy＋y2≤3.

 

答案：
解析：

選題意圖：本題考查換元法(等價轉化為熟悉函數)在不等式證明中的應用.

證明：設x＝ｒcosθ，y＝ｒsinθ(1≤ｒ≤，0≤θ＜2π

∴x2－xy＋y2＝ｒ2cos2θ－ｒcosθ·ｒsinθ＋ｒ2sin2θ

＝ｒ2(1－).

∵≤1－sin2θ≤，1≤ｒ2≤2

∴≤ｒ2(1－sin2θ)≤3，

即：≤x2－xy＋y2≤3.

<

說明：①三角函數是熟悉函數，它有很多重要性質.②換元時注意要等價，如1≤ｒ≤，0≤θ＜2π.

 


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．

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已知橢圓
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)的中心在原點，右頂點為A（2，0），其離心率與雙曲線
y
2
 
3
-
x
2
 
=1的離心率互為倒數．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過橢圓頂點B（0，b），斜率為k的直線交橢圓于另一點D，交x軸于點E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比數列，求
k
2
 
的值．

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