Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，f（x）=

x，0≤x≤1 ( 1 2 )x-1，-1≤x＜0

對(duì)于任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1）．若在區(qū)間[-1，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先確定2是f（x）的周期，作出函數(shù)的圖象，利用在區(qū)間[-1，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有四個(gè)不同零點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：由題意，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）-1]=f（x），
所以2是f（x）的周期
令h（x）=mx+m，
則函數(shù)h（x）恒過點(diǎn)（-1，0），
函數(shù)f（x）=

x，             0≤x≤1 ( 1 2 )x-1，   -1≤x＜0

在區(qū)間[-1，3]上的圖象
如圖所示：

由x=3時(shí)，f（3）=1，可得1=3m+m，則m=

1

4

∴在區(qū)間[-1，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有四個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，

1

4

]
故答案為：（0，

1

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．