Question

設(shè)A（-c，0）、B（c，0）（c＞0）為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值a（a＞0），求P點(diǎn)的軌跡．

Answer 1

分析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），欲求P點(diǎn)的軌跡，只須求出坐標(biāo)x，y的關(guān)系式即可，由題中條件：“

|PA|

|PB|

=a”將坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)即得．

解答：解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由

|PA|

|PB|

=a（a＞0）得

(x+c)2+y2

(x-c)2+y2

=a，
化簡(jiǎn)可得（1-a²）x²+2c（1+a²）x+c²（1-a²）+（1-a²）y²=0．
當(dāng)a=1時(shí)，方程化為x=0．
當(dāng)a≠1時(shí)，方程化為（x-

1+a2

a2-1

c）²+y²=（

2ac

a2-1

）²．
所以當(dāng)a=1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為y軸；
當(dāng)a≠1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)（

a2+1

a2-1

c，0）為圓心，|

2ac

a2-1

|為半徑的圓．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用、兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．