Question

12．已知函數(shù)f（x）=x+$\sqrt{1+2x}$．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析 （1）定義域容易求出為[-$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）可看出x增大時，f（x）增大，從而判斷出f（x）在$[-\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增，根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的${x}_{1}＞{x}_{2}≥-\frac{1}{2}$，然后作差，分子有理化，提取公因式x₁-x₂，從而證明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）要使f（x）有意義，則1+2x≥0；
∴$x≥-\frac{1}{2}$；
∴f（x）的定義域為[$-\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）x增大時，f（x）增大，∴f（x）在$[-\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增，證明如下：
$設(shè){x}_{1}＞{x}_{2}≥-\frac{1}{2}$，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\sqrt{1+2{x}_{1}}-{x}_{2}-\sqrt{1+2{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）+\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{\sqrt{1+2{x}_{1}}+\sqrt{1+2{x}_{2}}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+\frac{2}{\sqrt{1+2{x}_{1}}+\sqrt{1+2{x}_{2}}}）$；
∵${x}_{1}＞{x}_{2}≥-\frac{1}{2}$；
∴x₁-x₂＞0，$1+\frac{2}{\sqrt{1+2{x}_{1}}+\sqrt{1+2{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在$[-\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增．

點評 考查函數(shù)定義域的概念及求法，函數(shù)單調(diào)性的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷并證明一個函數(shù)的單調(diào)性的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），分子有理化的運用，作差后一般要提取公因式x₁-x₂．