(14分)如圖,三棱錐P―ABC中, PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點(diǎn),且CD平面PAB.

   (I) 求證:AB平面PCB;

   (II) 求異面直線AP與BC所成角的大。

(III)求二面角C-PA-B的大小.

解析:解法一:(I) ∵PC平面ABC,平面ABC,

∴PCAB.…………………………2分

∵CD平面PAB,平面PAB,

∴CDAB.…………………………4分

∴AB平面PCB.  …………………………5分

 

(II) 過點(diǎn)A作AF//BC,且AF=BC,連結(jié)PF,CF.

為異面直線PA與BC所成的角.………6分

由(Ⅰ)可得AB⊥BC,

∴CFAF.

由三垂線定理,得PFAF.

則AF=CF=,PF=,

中,  tan∠PAF==

∴異面直線PA與BC所成的角為.…………………………………9分

(III)取AP的中點(diǎn)E,連結(jié)CE、DE.

∵PC=AC=2,∴CE PA,CE=

∵CD平面PAB,

由三垂線定理的逆定理,得  DE PA.

為二面角C-PA-B的平面角.…………………………………11分

由(I) AB平面PCB,又∵AB=BC,可求得BC=

  在中,PB=,

   

    在中, sin∠CED=

∴二面角C-PA-B的大小為arcsin.……14分

解法二:(I)同解法一.

(II) 由(I) AB平面PCB,∵PC=AC=2,

又∵AB=BC,可求得BC=

以B為原點(diǎn),如圖建立坐標(biāo)系.

則A(0,,0),B(0,0,0),

C(,0,0),P(,0,2).

,

…………………7分

    則+0+0=2.

    ==

   ∴異面直線AP與BC所成的角為.………………………10分

(III)設(shè)平面PAB的法向量為m= (x,y,z).

,

   即

解得   令= -1,  得 m= (,0,-1).

   設(shè)平面PAC的法向量為n=().

,

 則   即

解得   令=1,  得 n= (1,1,0).……………………………12分

    =

    ∴二面角C-PA-B的大小為arccos.………………………………14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,三棱錐P-ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點(diǎn),且CD⊥平面PAB
(Ⅰ)求證:AB⊥平面PCB;
(Ⅱ)求二面角C-PA-B的大小的正弦值.

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(2006•石景山區(qū)一模)如圖,三棱錐P-ABC中,
PA
AB
=
PA
AC
=
AB
AC
=0
PA
2
=
AC
2
=4
AB
2

(Ⅰ)求證:AB⊥平面PAC;
(Ⅱ)若M為線段PC上的點(diǎn),設(shè)
|
PM|
|PC
|
,問λ為何值時(shí)能使直線PC⊥平面MAB;
(Ⅲ)求二面角C-PB-A的大。

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(2012•湖南模擬)如圖,三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAC⊥底面ABC,∠APC=90°,且AB=4,AP=PC=2,BC=2
2

(Ⅰ)求證:PA⊥平面PBC;
(Ⅱ)若E為側(cè)棱PB的中點(diǎn),求直線AE與底面ABC所成角的正弦值.

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(2012•德陽二模)如圖,三棱錐P-ABC中,PA丄面ABC,∠ABC=90°,PA=AB=1,BC=2,則P-ABC的外接球的表面積為

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精英家教網(wǎng)如圖在三棱錐P-ABC中,AB⊥PC,AC=2,BC=4,AB=2
3
,∠PCA=30°.
(1)求證:AB⊥平面PAC. (2)設(shè)二面角A-PC-B•的大小為θ•,求tanθ•的值.

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