Question

在的展開式中，把，，，…，叫做三項(xiàng)式的次系數(shù)列．
（Ⅰ）例如三項(xiàng)式的1次系數(shù)列是1，1，1，填空：
三項(xiàng)式的2次系數(shù)列是_________ ；
三項(xiàng)式的3次系數(shù)列是_________ ．
（Ⅱ）二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)可用楊輝三角形數(shù)陣表示，如下

①當(dāng)時(shí)，類似楊輝三角形數(shù)陣表，請列出三項(xiàng)式的次系數(shù)列的數(shù)陣表；
②由楊輝三角形數(shù)陣表中可得出性質(zhì)：，類似的請用三項(xiàng)式的次系數(shù)表示（無須證明）；
（Ⅲ）試用二項(xiàng)式系數(shù)（組合數(shù)）表示．

Answer 1

（Ⅰ）三項(xiàng)式的2次系數(shù)列是1,2,3,2,1；三項(xiàng)式的3此系數(shù)列是1,3,6,7,6,3,1.
（Ⅱ）①三項(xiàng)式的次系數(shù)的數(shù)陣表如下：

②觀察得：.
（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）由，求得2次系數(shù)列．同理根據(jù)，求得3次系數(shù)列．（Ⅱ）①②如圖所示：根據(jù)三項(xiàng)式的2次系數(shù)列和3次系數(shù)列的定義，可得結(jié)論．
（Ⅲ）根據(jù)三項(xiàng)式的2次系數(shù)列和3次系數(shù)列的定義，再利用組合數(shù)公式的性質(zhì)，可用二項(xiàng)式系數(shù)表示
試題解析：（Ⅰ）三項(xiàng)式的2次系數(shù)列是1,2,3,2,1；三項(xiàng)式的3此系數(shù)列是1,3,6,7,6,3,1.
（Ⅱ）①三項(xiàng)式的次系數(shù)的數(shù)陣表如下：

②觀察得：.
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/e2/14/e2314fb20dde3590f085df32da6b59c3.png" style="vertical-align:middle;" />，由（Ⅱ）②得，
，
，
，……，
所以，又，
所以由得，.
所以有，，，……，
所以將個(gè)式子累加得.
又，所以.
考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．