Question

（03年北京卷理）（14分）

有三個(gè)新興城鎮(zhèn)分別位于、、三點(diǎn)處，且，，今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在的垂直平分線上的點(diǎn)處（建立坐標(biāo)系如圖）．

（Ⅰ）若希望點(diǎn)到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，則應(yīng)位于何處？

（Ⅱ）若希望點(diǎn)到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，則應(yīng)位于何處？

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：由題設(shè)條件a>b>0,設(shè)P的坐標(biāo)為（0，），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為

  =

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值. 

答:點(diǎn)P的坐標(biāo)是

（Ⅱ）解：記

P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為

    由解得記

于是

      

當(dāng)，即時(shí)，

因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090415/20090415152155016.gif' width=51>在[上是增函數(shù)，而上是減函數(shù).

所以時(shí),函數(shù)取得最小值. 點(diǎn)P的坐標(biāo)是

當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090415/20090415152155016.gif' width=51>在[上當(dāng)y=0函數(shù)取得最小值b，而上是減函數(shù),且 ，所以時(shí), 函數(shù)取得最小值.

答：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是

    當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，其中