Question

已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+2．
（1）設(shè)集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，從集合P中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a，從集合Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為b，求方程f（x）=0有兩相等實(shí)根的概率；
（2）設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

分析：（1）先確定a、b取值的所有情況得到共有15種情況．因?yàn)榉匠逃袃蓚�(gè)相等的根，所以根的判別式為零得到a=2b²，結(jié)合a=2b²占2種情況，即可求得方程f（x）=0有兩個(gè)相等實(shí)根的概率；
（2）本小題是一個(gè)幾何概型的概率問(wèn)題，先根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，得到試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域和滿足條件的事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域，做出面積，利用幾何概型計(jì)算公式得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵方程ax²-4bx+2=0有兩等根，則△=16b²-8a=0即a=2b²
若a=2則b=-1或1
∴事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是2個(gè)，可得所求事件的概率為

2

15

；
（2）函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對(duì)稱軸為x=

2b

a

，當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a＞0時(shí)，
函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)是間[1，+∞）上為增函數(shù)，
依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?span id="9nzrwvd" class="MathJye">{(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0

}
構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿�角形部分�?BR>由

a+b-8=0 b= a 2

得交點(diǎn)坐標(biāo)為(

16

3

，

8

3

)，
∴所求事件的概率為P=

1 2 ×8× 8 3

1 2 ×8×8

=

1

3

點(diǎn)評(píng)：古典概型和幾何概型是我們學(xué)習(xí)的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過(guò)長(zhǎng)度、面積、和體積的比值得到．