已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,cn=an2-an+12(n∈N*)
(1)判斷數(shù)列{cn}是否是等差數(shù)列,并說明理由;
(2)如果a1+a3+…+a25=130,a2+a4+…+a26=143-13k(k為常數(shù)),試寫出數(shù)列{cn}的通項公式;
(3)在(2)的條件下,若數(shù)列{cn}得前n項和為Sn,問是否存在這樣的實數(shù)k,使Sn當且僅當n=12時取得最大值.若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.
分析:(1)設{an}的公差為d,則cn+1-cn=(an+12-an+22)-(an2-an+12)=-2d2,所以數(shù)列{cn}是以-2d2為公差的等差數(shù)列.
(2)由a1+a3+…+a25=130a2+a4+…+a26=143-13k,知13d=13-13k,d=1-k,由此能導出an=a1+(n-1)d=(1-kn+(13k-3)),由此能求出數(shù)列{cn}的通項公式.
(3)因為當且僅當n=12時Sn最大,所以c12>0,c13<0,由此能求出k的取值范圍.
解答:解:(1)設{a
n}的公差為d,則c
n+1-c
n=(a
n+12-a
n+22)-(a
n2-a
n+12)=2a
n+12-(a
n+1-d)
2-(a
n+1+d)
2=-2d
2∴數(shù)列{c
n}是以-2d
2為公差的等差數(shù)列(4分)
(2)∵a
1+a
3+…+a
25=130a
2+a
4+…+a
26=143-13k∴兩式相減:13d=13-13k
∴d=1-k(6分)
∴
13a1+×2d=130∴a
1=-2+12k(8分)
∴a
n=a
1+(n-1)d=(1-k)n+(13k-3)
∴c
n=a
n2-a
n+12=(a
n+a
n+1)(a
n-a
n+1)
=26k
2-32+6-(2n+1)(1-k
2)
=-2(1-k)
2•n+25k
2-30k+5(10分)
(3)因為當且僅當n=12時S
n最大
∴有c
12>0,c
13<0(12分)
即
| -24(1-k)2+25k-30k+5>0 | -36(1-k)2+25k2-30k+5<0 |
| |
???k<-19或k>21(15分)
點評:本題考查數(shù)列的性質和應用,解題時要注意公式的合理運用.