Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

cos2x+asinx-

a

4

的定義域為[0，

π

2

]，最大值為2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：根據(jù)二倍角公式整理所給的函數(shù)式，得到關(guān)于正弦的二次函數(shù)，根據(jù)所給的角的范圍，得到二次函數(shù)的定義域，根據(jù)對稱軸與所給的定義域之間的關(guān)系，分三類來解答．

解答：解：∵f(x)=

1

2

cos2x+asinx-

a

4

=

1

2

(1-2sin2x)+asinx-

a

4

=-sin2x+asinx+

1

2

-

a

4

=-（sinx-

a

2

）²+

1

2

-

a

4

+

a2

4

∵函數(shù)的定義域為[0，

π

2

]，
∴sinx∈[0，1]
∴當(dāng)0≤

a

2

≤1時，
a²-a-6=0，0≤a≤2
a=3或a=-2  無解
當(dāng)

a

2

＜0時，sinx=0取最大值
即

1

2

-

a

4

=2 
∴a=-6
當(dāng)

a

2

＞1時，sinx=1取最大值
即-1+a+

1

2

-

a

4

=2  
∴a=

5

3

綜上可知：a=-6或a=

5

3

點評：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值及三角函數(shù)變化整理的過程，本題解題的關(guān)鍵是對二次函數(shù)的對稱軸進行討論，本題是一個易錯題，容易忽略討論對稱軸的位置．