Question

已知函數(shù)f（x）=ax-21nx，a∈R
（Ⅰ）a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求f（x）單調(diào)區(qū)間
（Ⅲ）設(shè)g(x)=

a+2e

x

(a＞0)，若在[1，e]上至少存在一個(gè)x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后解f′（x）=0方程，得到x=2，將（0，+∞）分為二個(gè)區(qū)間，最后通過(guò)列表得出導(dǎo)數(shù)在這二個(gè)區(qū)間的符號(hào)，討論出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出函數(shù)的極值．
（II）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，從而的函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)的極值，fˊ（x）＞0的區(qū)間是增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間是減區(qū)間．
（III）本命題等價(jià)于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-

a+2e

x

，求導(dǎo)：
F'（x）=a-

2

x

+

a+2e

x2

=

ax2-2x+a+2e

x2

=

ax2+a+2(e-x)

x2

＞0，得出F（x）_max=F（e）．
依題意需F（e）＞0，從而求得a的取值范圍．

解答：解：（I）f′(x)=1-

2

x

，x＞0．令f'（x）=0，得x=2
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）與f（x）變化情況如下表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得極小值f（2）=2-2ln2．
（Ⅱ）a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；a＞0時(shí)，f（x）在（0，

2

a

）上是減函數(shù)，
在（

2

a

，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅲ）本命題等價(jià)于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-

a+2e

x

，
F'（x）=a-

2

x

+

a+2e

x2

=

ax2-2x+a+2e

x2

=

ax2+a+2(e-x)

x2

＞0，
所以F（x）為增函數(shù)，F(xiàn)（x）_max=F（e）．
依題意需F（e）＞0，解得a＞

4e

e2-1

．所以a的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．