Question

13．如圖，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A，B兩點，|AF|的最大值為M，|BF|的最小值為m，滿足$M•m=\frac{3}{4}{a^2}$．
（Ⅰ）若線段AB垂直于x軸時，|AB|=$\frac{3}{2}$，求橢圓的方程；
（Ⅱ） 設(shè)線段AB的中點為G，AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D，E兩點，O是坐標(biāo)原點，記△GFD的面積為S₁，△OED的面積為S₂，求$\frac{{2{S_1}{S_2}}}{{{S_1}^2+{S_2}^2}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設(shè)F（-c，0）（c＞0），則根據(jù)橢圓性質(zhì)得M=a+c，m=a-c，結(jié)合條件，解方程可得a，c，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)出橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+c），并設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，由韋達定理和中點坐標(biāo)公式可得G的坐標(biāo)，再由三角形相似的性質(zhì)，可得面積比為對應(yīng)邊的平方比，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ） 設(shè)F（-c，0）（c＞0），則根據(jù)橢圓性質(zhì)得
M=a+c，m=a-c而M•m=$\frac{3}{4}$a²，
所以有a²-c²=$\frac{3}{4}$a²，即a²=4c²，即a=2c，
又$\frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{3}{2}$且a²=b²+c²，
得$a=1，{b^2}=\frac{3}{4}$，
因此橢圓的方程為：${x^2}+\frac{{4{y^2}}}{3}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=2c，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$c，橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，
根據(jù)條件直線AB的斜率一定存在且不為零，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+c），
并設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+c）\\ \frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1\end{array}\right.$消去y并整理得，（4k²+3）x²+8ck²x+4k²c²-12c²=0，
從而有${x_1}+{x_2}=-\frac{{8c{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，{y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}+2c）=\frac{6ck}{{4{k^2}+3}}$，
所以$G（-\frac{{4c{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，\frac{3ck}{{4{k^2}+3}}）$．
因為DG⊥AB，所以$\frac{{\frac{3ck}{{4{k^2}+3}}}}{{-\frac{{4c{k^2}}}{{4{k^2}+3}}-{x_D}}}•k=-1$，即${x_D}=-\frac{{c{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$．
由Rt△FGD與Rt△EOD相似，
所以$\frac{S_1}{S_2}=\frac{{G{D^2}}}{{O{D^2}}}=\frac{{{{（-\frac{{4c{k^2}}}{{4{k^2}+3}}+\frac{{c{k^2}}}{{4{k^2}+3}}）}^2}+{{（\frac{3ck}{{4{k^2}+3}}）}^2}}}{{{{（-\frac{{c{k^2}}}{{4{k^2}+3}}）}^2}}}=9+\frac{9}{k^2}＞9$．
令$\frac{S_1}{S_2}=t$，則t＞9，
從而$\frac{{2{S_1}{S_2}}}{{{S_1}^2+{S_2}^2}}=\frac{2}{{t+\frac{1}{t}}}＜\frac{2}{{9+\frac{1}{9}}}=\frac{9}{41}$，
即$\frac{{2{S_1}{S_2}}}{{{S_1}^2+{S_2}^2}}$的取值范圍是$（0，\frac{9}{41}）$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的性質(zhì)，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查三角形相似的性質(zhì)：三角形的面積之比為相似比的平方，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．