Question

已知函數(shù)f（x）=

a

3

x³-

1

2

（a+1）x²+x-

1

3

，a∈R，
（1）若a＜0，求函數(shù)f（x）極值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求函數(shù)的極值；（2）通過(guò)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合根的存在性定理求解．

解答： 解：（1）f′（x）=ax²-（a+1）x+1=a（x-1）（x-

1

a

）
∵a＜0，∴

1

a

＜1，

	（-∞， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

∴f（x）極小值=f（

1

a

）=

-2a2+3a-1

6a2

，f（x）極大值=f（1）=-

1

6

（a-1）
（2）f（

1

a

）=

-2a2+3a-1

6a2

=-

(a-1)(2a-1)

6a2

，f（1）=-

1

6

（a-1）
f（2）=

1

3

（2a-1），f（0）=-

1

3

＜0，
①當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，在[1，2]上為減函數(shù)，f（0）＜0，f（1）=-

1

6

（a-1）＞0，f（2）=

1

3

（2a-1）≤0，
所以f（x）在區(qū)間[0，1]，（1，2]上各有一個(gè)零點(diǎn)，即在[0，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)

1

2

＜a≤1時(shí)，f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，在[1，

1

a

]上為減函數(shù)，[

1

a

，2]上為增函數(shù)，
f（0）＜0，f（1）=-

1

6

（a-1）＞0，f（

1

a

）=-

(a-1)(2a-1)

6a2

＞0，f（2）=

1

3

（2a-1）＞0，
所以f（x）只在區(qū)間[0，1]上有一個(gè)零點(diǎn)，故在[0，2]上只有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在[0，

1

a

]上為增函數(shù)，在[

1

a

，1]上為減函數(shù)，[1，2]上為增函數(shù)，
f（0）＜0，f（

1

a

）=-

(a-1)(2a-1)

6a2

＜0，f（1）＜0，f（2）＞0，
，所以f（x）只在區(qū)間（1，2）上有一個(gè)零點(diǎn)，故在[0，2]上只有一個(gè)零點(diǎn)；
綜上所述，存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，包括單調(diào)性與極值的判斷，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想，綜合性很強(qiáng)．