Question

（2009•閔行區(qū)一模）已知無(wú)窮數(shù)列{a_n}，首項(xiàng)a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，且a_n+1=（a-1）S_n+2（a≠0，a≠1，n∈N^*）．若數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)和為-

8

3

a，則a=

-

1

2

．

Answer 1

分析：由a_n+1=（a-1）•S_n+2，知a₂=3a-1，a₃=3a²-a，a₄=3a³-a²，由數(shù)學(xué)歸納法可以求得：a_n+1=3aⁿ-a^n-1，又由于a_n+1=（a-1）S_n+2，且|a|=1時(shí)S_n都不等于（-

8

3

）a．那么：S_n=（3aⁿ-a^n-1）×

1

a-1

，由此能求出a的值．

解答：解：由a_n+1=（a-1）•S_n+2 可以知道：
a₂=3a-1，
a₃=3a²-a，
a₄=3a³-a²，
由數(shù)學(xué)歸納法可以求得：a_n+1=3aⁿ-a^n-1，
又由于a_n+1=（a-1）S_n+2，
且|a|=1時(shí)S_n都不等于（-

8

3

）a
那么：S_n=（3aⁿ-a^n-1）×

1

a-1

，
當(dāng)n趨向無(wú)窮大時(shí)：若|a|＞1，那么S_n也趨向無(wú)窮，不滿足題意，
若|a|＜1，那么S_n=-

2

a-1

，
那么有：-

2

a-1

=-

8

3

a，
解得：a=-

1

2

．
故答案為：-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．